几何画板解析2017年江苏扬州中考倒一（几何背景）

Original 2017-09-27 永溙一中　张祖冬 初中数学延伸课堂

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（注：感谢一位朋友及时提出：上次发布的倒一实际上倒三（重复），录入严重错误，实在抱歉！）

（2017•扬州）如图，已知正方形ABCD的边长为4，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以 PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．

（1）若AP=1，则AE=；

（2）①求证：点O一定在△APE的外接圆上；

②当点P从点A运动到点B时，点O也随之运动，求点O经过的路径长；

（3）在点P从点A到点B的运动过程中，△APE的外接圆的圆心也随之运动，求该圆心到AB边的距离的最大值．

【图文解析】

（1）如下图示，

不难证得∠1＝∠3，由tan∠1＝tan∠3可得：AE/PA＝PB/BC，即AE/1＝3/4，解得AE＝3/4.（当然也可通过两阴影部分的三角形相似去证也可，本质一样）.

（2）①考虑到“四点共圆”有的教材（如人教版）不作为定理使用，所以此法只做简单说明。本文用“圆的定义”进行解析，如下图示：

根据“直角三角形中，斜边上的中线等于斜边上一半”可以得到：MA＝ME＝MP＝MO，所以A、P、O、E四点在同个圆M上，所以点O一定在△APE的外接圆上.

用“四点共圆”法：不能得到∠EOF+∠DAB=180°，所以…….

显然，应该是对角线AC的一半(可以由起点和终点对应的O点构成线段，得到答案)，值为2×根号2.再次用动画进行确认。

（3）本题表面上与上题类似，其实不然，原因是此题中我们所需的点受多种因素(P、E、BC的中点M均为“连动”)，影响，不易找出相应的运动路径，但仍然是动中有“静”，“静”是MN(圆心到AB的距离——题中所要求的)的长与AE的长之间永远有“MN=0.5AE”这个关系。

虽然无法直接用几何办法找到运动路径为何，但可以通过相似、勾股、三角形函数的定义等建立函数关系(或者建立坐标系，动点设定为参数).同时与之相关联的一个重要条件“直角”，为此：

(当然本题也可以建立坐标系，本质完全相同)

其实，本题的M点(△APE的处心M的运动路径是一条抛物线。请看动态演示。

【反思】本题是典型的路径相关的试题，路径中的相关问题的两种常用解法(几何法，函数法)在本题都有体现，同时“直角”相关的常用辅助线，在中考中应用太常见了，务必熟练掌握。

变式推广：如果将本题中所含的“两正方形”类似改为“两等边三角形”呢？改为“其他正多边形”呢？如下图示：

朋友们，编一下试题，试试看!

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